Entropia Topológica e Interseções Homoclínicas

Speaker: Isabel Rios, UFF. 

Date: 08 nov 2019, 15h30

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: Neste trabalho, em conjunto com Lorenzo Díaz, Karla Díaz-Ordaz e André de Carvalho, estudamos a variação da entropia topológica no desdobramento de uma tangência homoclínica interna a uma ferradura. Mostramos que a entropia é decrescente na direção da destruição da tangência, em um conjunto especial de parâmetros, com densidade total no parâmetro de primeira bifurcação. Esse resultado ap oia a ideia intuitiva de que a destruição de interseções homoclínicas acarreta o decrescimento da entropia topológica.

 

O Teorema de Furstenberg

Speaker: Odylo Abdalla, UFF. 

Date: 08 nov 2019, 14h

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: Conjuntos invariantes por endomorfismos nx mod 1 do círculo são muitos e de toda sorte. Entretanto, quando se coloca a restrição de que o conjunto tem de ser invariante por mais de um destes endomorfismos pode-se restringir drasticamente os candidatos para essa invariância: o Teorema de Furstenberg diz que se a e b não são potências de um mesmo primo, qualquer fechado de S1 invariante por ax mod 1 e bx mod 1, tem de ser finito ou então o círculo inteiro. Nesta edição do Café Cultural tentarei exibir uma demonstração elementar do Teorema acima baseada nas notas de um ex-docente da casa, o professor Dominique Malicet, e se o tempo permitir, explicar como o problema acima é um toy model para um problema em aberto na matemática: a Conjectura de Furstenberg.

Referências: [1] D. Malicet, Furstenberg’s Theorem, Ensaios Matemáticos, vol.33 (2019), 151-155.

 

Sobre Biholomorfismos com órbitas finitas

Speaker: Lucivanio Lisboa, UFF. 

Date: 04 oct 2019, 14h15

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: Seja F ∈ Diff (C^n,0) um germe de biholomorfismo fixando a origem de C^n. Dizemos que F tem a propriedade de órbitas finitas se existe uma vizinhança U de 0 na qual F e F^{−1} estão definidos e, para cada p ∈ U, o conjunto dos iterados de p por F em U é finito. Em 1980, J.-F. Mattei e R. Moussu mostraram que em dimensão n = 1 um elemento F tem a propriedade de órbitas finitas se, e somente se, F é periódico como elemento do grupo Diff (C^1, 0). Eles usaram esse fato para estabelecer um critério topológico para existência de integrais primeiras para germes de folheações em (C^2, 0). Em dimensão n ≥ 2, não é verdade que a propriedade de órbitas finitas seja equivalente à periodicidade. Por exemplo, o biholomorfismo local F(x, y) = (x, y+x^2) tem a propriedade de órbitas finitas, mas não é periódico. Neste seminário, apresentarei alguns resultados recentes sobre biholomorfismos com órbitas finitas em dimensão n ≥ 2. Este ́e um trabalho de Tese em desenvolvimento, sob a orientação de Javier Ribón e coorientação de Fernando Sanz.

 

Bilhares e produtos Lagrangianos

Speaker: Daniele Sepe, UFF.

Date: 20 sep 2019, 14h15

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: Produtos Lagrangianos são subvariedades do espaço vetorial simplético que possuem uma profunda conexão com bilhares. Intuitivamente, existe uma correspondência 1:1 entre tais variedades e bilhares com uma dada lei de reflexão. Esta palestra tem dois objetivos. O primeiro é explicar a relação acima (que aprendi num trabalho de Artstein-Avidan, Karasev e Ostrover). O segundo é ilustrar como esta relação permite estudar problemas de mergulhos simpléticos de (famílias de) produtos Lagrangianos. Esta palestra é baseada em um trabalho com Vinicius Ramos (IMPA).

 

Ferraduras com tangências internas

Speaker: Isabel Lugão Rios, UFF.

Date: 13 sep 2019, 14h15

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: Nesse seminário vou falar sobre um exemplo de ferradura com tangência homoclínica interna, ou seja, acumulada por órbitas periódicas da ferradura. Esse exemplo foi introduzido em minha tese de doutorado, onde era mergulhado em uma família a um parâmetro, com o objetivo de estudar a bifurcação resultante. Posteriormente, em colaboração com outros colegas, provamos várias propriedades interessantes dessa ferradura bifurcante. Vou abordar mais especificamente um trabalho em conjunto com Yongluo Cao e Stefano Luzzatto, onde provamos que todas as medidas invariantes suportadas na ferradura têm expoentes de Lyapunov uniformemente afastados de zero. Vou concluir falando de um trabalho recente em colaboração com André de Carvalho, Karla Díaz-Ordas, e Lorenzo Díaz, sobre a variação da entropia topológica após a bifurcação.

 

Comportamento não-hiperbólico de certos fluxos geodésicos

Speaker: Katrin Gelfert, UFRJ.

Date: 06 sep 2019, 14h15

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: Vamos examinar inicialmente leilões com regras simples e mostrar o que a teoria dos jogos prediz para o comportamento dos participantes nestes casos. Depois vamos apontar como técnicas de aprendizagem de máquina, especificamente técnicas de "aprendizagem por reforço", podem nos dizer sobre o comportamento dos agentes e comparar com os resultados teóricos.

 

Statistical stability for singular hyperbolic attractors

Speaker: Mohammad Soufi, UERJ.

Date: 23 aug 2019, 14h15.

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: A common agreement on the definition of chaos is the sensitive dependence on initial conditions. That means independent of how close two initial conditions are, by letting the system to proceed for a while, the new resulting states of the system are significantly different. In other words, a small error at a starting point will cause a huge difference in the outcome of the system. Since measuring a starting point can not be done accurately, the orbit of states is quite unpredictable. But statistically there is a hope to make a prediction by measuring an observable along orbits of the system. Despite of the alteration of the observable along an orbit, its time average for typical points converges to a constant which is the space average. This is due to the existence of an SRB (Physical) measure. Now, an interesting question is if the space average depends sensitively on system, i.e., if the statistical behaviour is stable under the small perturbation of a system? In this talk, we start with some basic definitions and provide some examples of statistical stable chaotic systems: Lorenz-like map and Lorenz attractor. The Lorenz attractor is the first example of robust attractor containing a hyperbolic singularity in dimension three which is called singular hyperbolic attractor. Then we define precisely the singular hyperbolic attractors and discuss their statistical stability.

This a joint work with Mohammad Fanaee.

 

Grupos de difeomorfismos de um conjunto de Cantor

Speaker: Monique Malicet, Université Paris-Est (Marne la Vallée).

Date: 12 jul 2019, 16h30.

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: Sendo K um conjunto de Cantor da linha real R, chamamos difeomorfismo de K uma bijeção de K que é localmente a restrição de um difeomorfismo de R. Nos interessamos nas ações de grupo em K por difeomorfismos. Depende apriori muito de K, mas mostramos alguns resultados gerais. Por exemplo, um grupo finimente gerado G de difeomorfismos C^2 de K satisfaz a propriedade de Burnside: se todo elemento de G tem ordem finita, então G é finito. Também, G sempre contém um semigrupo livre com dois geradores a não ser que ele seja virtualmente abeliano. Disso podemos deduzir por exemplo que SL(3,Z) não pode agir fielmente em K por difeomorfismos C^2.

Este trabalho é feito em colaboração com Emmanuel Militon.

 

Open sets of partially hyperbolic skew products having an unique SRB measure

Speaker: Davi Obata, Université Paris-Sud (Orsay).

Date: 12 jul 2019, 15h30.

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: In this seminar we will study the existence (and uniqueness) of SRB measures for certain partially hyperbolic systems. In particular, we obtain $C^2$-open sets of dissipative, partially hyperbolic skew products having an unique hyperbolic SRB measure. These partially hyperbolic systems have a two dimensional center which presents both expansion and contraction, and no domination between expanding/contracting directions. These systems are dissipative perturbations of an example introduced by Berger-Carrasco. The proof uses a combination of recent results: a measure rigidity result by Brown-Rodriguez Hertz, the invariance principle by Tahzibi-Yang, and some techniques developed by the author to prove the stable ergodicity of the same example in the conservative setting. In particular, in a neighborhood of the example we obtain a rigidity result for $u$-Gibbs measures, that is, we can classify all the possible $u$-Gibbs measures that may appear.

 

 

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