Varieties of algebras with polynomial identities: some invariants and numerical sequences

Speaker: Fabrizio Martino, University of Palermo.

Date: 23 sep 2022, 12h.

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: Let F be a field of characteristic zero, A be an associative F-algebra and F(X) be the free associative algebra, freely generated over F by the countable set X of variables. A non-zero polynomial f(x1, . . . , xn) ∈ F(X) is a polynomial identity of A if for all a1, . . . , an ∈ A, f(a1, . . . , an) = 0. The set of all polynomial identities of a given algebra is called T-ideal of identities and it is denoted by Id(A). Motivated by an idea of Regev, in characteristic zero one can consider the space of multilinear polynomials

Pn = spanF {xσ(1)xσ(2) · · · xσ(n) | σ ∈ Sn}

and define the n-th codimension of A as the dimension of the quotient vector space Pn(A) of multilinear polynomials reduced modulo the identities of A, i.e.
cn(A) = dimF Pn / (Pn ∩ Id(A)).

The asymptotic behavior of such codimension sequence measures in some sense the number of polynomial identities satisfied by A. In this talk we will present the main results and problems about varieties of algebras with polynomial identities and their codimension sequences. Furthermore, we will generalize the idea of polynomial identity by studying the so-called central polynomials, i.e., polynomials whose evaluations belong to Z(A), the center of A. We will define, in fact, the central codimension sequence czn(A) and we will connect it with cn(A).

 

An introduction to the theory of polynomial identities

Speaker: Antonio Ioppolo, University of Milano Bicocca.

Date: 23 sep 2022, 10h.

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: An identity is a symbolic expression involving operations and variables which is always satisfied when the variables are replaced in a given algebraic structure. This talk aims to give the motivation behind the study of these objects, the flavor of some important results and future directions.

I will start with a motivating example leading into the basic notions of the theory of polynomial identities in algebras. Then I will present the celebrated theorem of Amitsur and Levitzk (1950) stating that a certain standard polynomial is an identity for the algebra of square matrices. This initial combinatorial method proved to be limited until Regev introduced in 1972 a growth function measuring the size of identities. This new analytic approach, combined with techniques from ring theory, combinatorics and representation theory of groups, forms one of the current points of view of the theory (see the recent book [1]).

Next I will give an idea of the latest developments in this area. In particular, I will introduce the so-called algebras with trace and we shall see how in this setting also a computational approach turns out to be important for the development of the theory. Along the way, I will present some results  concerning the generating identities of important algebras with trace and the characterization of trace algebras with interesting properties of the Regev growth function (see [2, 3, 4, 5]).

References

[1] E. Aljadeff, A. Giambruno, C. Procesi, A. Regev, Rings with polynomial identities and finite dimensional representations of algebras, American Mathematical Society Colloquium Publications 66, Providence R.I., 2020, 630 pp.
[2] A. Giambruno, A. Ioppolo, D. La Mattina, Trace codimensions of algebras and their exponential growth, accepted in Israel J. Math.
[3] A. Ioppolo, P. Koshlukov, D. La Mattina, Trace identities and almost polynomial growth, J. Pure Appl. Algebra 225 (2021), no. 2, Article ID. 106501.
[4] A. Ioppolo, P. Koshlukov, D. La Mattina, Trace identities on diagonal matrix algebras, Proceedings of the INdAM Workshop Polynomial identities in algebras, in Polynomial Identities in Algebras, Springer INdAM Series 44, Editors O. M. Di Vincenzo, A. Giambruno, Springer, 2021.
[5] A. Ioppolo, P. Koshlukov, D. La Mattina, Matrix algebras with degenerate traces and trace identities, J. Algebra 592 (2022), 36–63.

 

Campos quânticos, álgebras de Lie e álgebras de vértices

Speaker: Jethro van Eckren, UFF.

Date: 24 nov 2020, 13h.

Place: Google meet at https://meet.google.com/dvf-zbqt-vbk.

Abstract: Nesta palestra, vou apresentar algumas noções fundamentais da teoria quântica de campos, e explicar como elas levam naturalmente ao estudo de álgebras de Lie de dimensão infinita, e motivam a introdução do conceito matemático de álgebra de vértices. Vou tentar, também, explicar o papel fundamental do número 26.

Note: Esta palestra é parte do SemEAr 2020.

 

Distribuiçoes não integráveis e folheações Legendrianas

Speaker: Rudy Rosas, PUCP, Lima.

Date: 10 mar 2020, 14h.

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: Dada uma distribuição holomorfa não integrável, nesta palestra estudaremos as folheações holomorfas que são tangentes a esta distribuição. O estudo de objetos "tangentes" a uma distribuição não integrável tem sido bastante desenvolvido na categoria C-infinito, mas muito pouco explorado na categoria holomorfa. Como corolário do nosso estudo, mostramos que as distribuições de contato canônicas em espaços projetivos complexos admitem variedades Legendrianas abertas, injetivamente inmersas e densas no espaço todo.

 

McKay correspondence in 3 dimensions: differential geometric and algebraic aspects and applications to mathematical physics

Speaker: Ugo Bruzzo, Sissa/UFPB.

Date: 12 dec 2019, 15h30.

Place: Room 40x, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: If G is a finite group acting on C^3, the MacKay correspondence establishes a correspondence between the representation theory of G, and the cohomology of a crepant resolution X of C^3/G, or more precisely, with the geometry of the exceptional divisors of X. In my talk I will cover the following aspects:

  1. Correspondence between the GIT construction of the resolution vs. a Marsden-Weinstein approach;
  2. Explicit study of the chamber structure of the space of stability parameters in an example;
  3. A hint to physical applications.

 

Sobre o mapa de Abel universal

Speaker: Marco Pacini, UFF.

Date: 13 dec 2019, 11h30.

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: Um importante problema em geometria algébrica é se uma variedade complexa pode ser mergulhada em um espaço projetivo. A resposta a esta pergunta é associada à existência de sistemas lineares sobre a variedade com certas propriedades. No caso de curvas lisas, o teorema de Abel descreve todos os sistemas lineares (completos), portanto descreve todos os possíveis mergulhos de uma curva em um espaço projetivo. Um problema natural é como definir um mapa de Abel universal, ou seja para todas as curvas (possivelmente singulares). Nesta palestra formularemos mais precisamente este problema e descreveremos a resposta que pode ser dada.

Este é um trabalho em colaboração com Alex Abreu.

Esta palestra é parte do Colóquio "Sextas na Pós... e Após"; nesta ocasião, o "após" será uma confraternização de fim de ano no restaurante "À Mineira".

 

Alguns problemas em geometria complexa

Speaker: Thiago Fassarella, UFF.

Date: 12 dec 2019, 14h.

Place: Room 40x, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: Nesta palestra irei introduzir espaços de moduli de fibrados/Campos de Higgs/Conexões sobre uma curva complexa lisa. Pretendo também discutir certas propriedades e apresentar alguns problemas na área.

 

Vector bundles on elliptic surfaces

Speaker: Vitantonio Peragine, SISSA, Trieste.

Date: 26 nov 2019, 14h.

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: This will be a review talk about vector bundles on elliptic surfaces.

We will start by showing that S-equivalence classes of semistable vector bundles of rank n and trivial determinant over an integral curve E of arithmetic genus 1 (possibly singular) have a coarse moduli space, which is a projective space P of dimension n-1.

Then, we will describe two methods for constructing universal families of regular bundles over PxE, one based on the idea of a spectral cover of P, and  the other on the universal extension of two carefully chosen vector bundles on E.

Finally, we will explain how these ideas can be generalized to the relative context of a family of Weierstrass cubics with a section.

 

Listagem de semigrupos de valores r-ramificados

Speaker: Lia Feital, Universidade Federal de Viçosa.

Date: 12 nov 2019, 14h.

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: Processos para listagem de semigrupos numéricos já foram estudados por alguns autores, entre eles a Bras-Amorós com a árvore de semigrupos. Agora, a tarefa de fornecer uma listagem completa de todos os semigrupos multirramificados torna-se bem mais complexa. Este é o problema que estou trabalhando no momento (ainda no princípio) junto com o Professor Marcelo Escudeiro (UEM), onde estamos buscando implementar um processo automatizado que calcule todos os semigrupos possíveis de um certo gênero g.

 

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