An introduction to the theory of polynomial identities

Speaker: Antonio Ioppolo, University of Milano Bicocca.

Date: 23 sep 2022, 10h.

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: An identity is a symbolic expression involving operations and variables which is always satisfied when the variables are replaced in a given algebraic structure. This talk aims to give the motivation behind the study of these objects, the flavor of some important results and future directions.

I will start with a motivating example leading into the basic notions of the theory of polynomial identities in algebras. Then I will present the celebrated theorem of Amitsur and Levitzk (1950) stating that a certain standard polynomial is an identity for the algebra of square matrices. This initial combinatorial method proved to be limited until Regev introduced in 1972 a growth function measuring the size of identities. This new analytic approach, combined with techniques from ring theory, combinatorics and representation theory of groups, forms one of the current points of view of the theory (see the recent book [1]).

Next I will give an idea of the latest developments in this area. In particular, I will introduce the so-called algebras with trace and we shall see how in this setting also a computational approach turns out to be important for the development of the theory. Along the way, I will present some results  concerning the generating identities of important algebras with trace and the characterization of trace algebras with interesting properties of the Regev growth function (see [2, 3, 4, 5]).

References

[1] E. Aljadeff, A. Giambruno, C. Procesi, A. Regev, Rings with polynomial identities and finite dimensional representations of algebras, American Mathematical Society Colloquium Publications 66, Providence R.I., 2020, 630 pp.
[2] A. Giambruno, A. Ioppolo, D. La Mattina, Trace codimensions of algebras and their exponential growth, accepted in Israel J. Math.
[3] A. Ioppolo, P. Koshlukov, D. La Mattina, Trace identities and almost polynomial growth, J. Pure Appl. Algebra 225 (2021), no. 2, Article ID. 106501.
[4] A. Ioppolo, P. Koshlukov, D. La Mattina, Trace identities on diagonal matrix algebras, Proceedings of the INdAM Workshop Polynomial identities in algebras, in Polynomial Identities in Algebras, Springer INdAM Series 44, Editors O. M. Di Vincenzo, A. Giambruno, Springer, 2021.
[5] A. Ioppolo, P. Koshlukov, D. La Mattina, Matrix algebras with degenerate traces and trace identities, J. Algebra 592 (2022), 36–63.

 

Campos quânticos, álgebras de Lie e álgebras de vértices

Speaker: Jethro van Eckren, UFF.

Date: 24 nov 2020, 13h.

Place: Google meet at https://meet.google.com/dvf-zbqt-vbk.

Abstract: Nesta palestra, vou apresentar algumas noções fundamentais da teoria quântica de campos, e explicar como elas levam naturalmente ao estudo de álgebras de Lie de dimensão infinita, e motivam a introdução do conceito matemático de álgebra de vértices. Vou tentar, também, explicar o papel fundamental do número 26.

Note: Esta palestra é parte do SemEAr 2020.

 

Distribuiçoes não integráveis e folheações Legendrianas

Speaker: Rudy Rosas, PUCP, Lima.

Date: 10 mar 2020, 14h.

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: Dada uma distribuição holomorfa não integrável, nesta palestra estudaremos as folheações holomorfas que são tangentes a esta distribuição. O estudo de objetos "tangentes" a uma distribuição não integrável tem sido bastante desenvolvido na categoria C-infinito, mas muito pouco explorado na categoria holomorfa. Como corolário do nosso estudo, mostramos que as distribuições de contato canônicas em espaços projetivos complexos admitem variedades Legendrianas abertas, injetivamente inmersas e densas no espaço todo.

 

McKay correspondence in 3 dimensions: differential geometric and algebraic aspects and applications to mathematical physics

Speaker: Ugo Bruzzo, Sissa/UFPB.

Date: 12 dec 2019, 15h30.

Place: Room 40x, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: If G is a finite group acting on C^3, the MacKay correspondence establishes a correspondence between the representation theory of G, and the cohomology of a crepant resolution X of C^3/G, or more precisely, with the geometry of the exceptional divisors of X. In my talk I will cover the following aspects:

  1. Correspondence between the GIT construction of the resolution vs. a Marsden-Weinstein approach;
  2. Explicit study of the chamber structure of the space of stability parameters in an example;
  3. A hint to physical applications.

 

Sobre o mapa de Abel universal

Speaker: Marco Pacini, UFF.

Date: 13 dec 2019, 11h30.

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: Um importante problema em geometria algébrica é se uma variedade complexa pode ser mergulhada em um espaço projetivo. A resposta a esta pergunta é associada à existência de sistemas lineares sobre a variedade com certas propriedades. No caso de curvas lisas, o teorema de Abel descreve todos os sistemas lineares (completos), portanto descreve todos os possíveis mergulhos de uma curva em um espaço projetivo. Um problema natural é como definir um mapa de Abel universal, ou seja para todas as curvas (possivelmente singulares). Nesta palestra formularemos mais precisamente este problema e descreveremos a resposta que pode ser dada.

Este é um trabalho em colaboração com Alex Abreu.

Esta palestra é parte do Colóquio "Sextas na Pós... e Após"; nesta ocasião, o "após" será uma confraternização de fim de ano no restaurante "À Mineira".

 

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