Thesis Defense: Theoretical Results on the Controllability of Nonlinear Partial Differential Equations

Ph.D. Candidate: Denilson Menezes de Jesus

Thesis Committee: Juan Bautista Limaco Ferrel (advisor, UFF)

Enrique Fernández Cara (Universidad de Sevilla)
Enrique Zuazua (Friedrich-Alexander-Universität)
Fagner Dias Araruna (UFPB)
Jose Felipe Linares Ramirez (IMPA)
Diego Araujo de Souza (Universidad de Sevilla)
Pitágoras Pinheiro de Carvalho (UESPI)

Date: 20 apr 2022, 09h.

Place: Google Meet: meet.google.com/esj-hndf-kkn.

Abstract: A presente tese compila três diferentes pesquisas desenvolvidas durante o curso de doutorado no Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal Fluminense (UFF), sob a orientação do professor Juan Bautista Límaco Ferrel. O campo de estudo desta tese é a teoria de controle de equações diferenciais parciais, onde apresentamos três pesquisas sobre os seguintes tópicos: controle ótimo; controlabilidade nula local; e equilíbrio de Pareto. Na primeira, propomos o estudo de um determinado sistema parabólico quase linear. Investigamos o aspecto de controlabilidade ótima deste modelo, provando em um cenário geral que existe um controle ótimo. Em uma estrutura particular de interesse prático, estamos aptos a caracterizar o controle ótimo e o estado correspondente. Na segunda, o estudo dedica-se a analisar, do ponto de vista teórico, a controlabilidade nula local de um tipo de sistema parabólico quase linear onde o coeficiente de difusão depende do gradiente da variável estado. Em nosso resultado principal, provamos que, sob algumas suposições naturais, a controlabilidade nula local é válida. Para tanto, consideramos o problema de controlabilidade nula para o sistema linearizado, deduzimos novas estimativas sobre o controle e o estado e, então, aplicamos um teorema de inversão local. Finalmente, a última pesquisa investiga o equilíbrio de Pareto para problemas de controle ótimo bi-objetivo. Nosso framework compreende a situação em que um agente atua com controle distribuído em uma porção de um determinado domínio, e visa atingir dois alvos distintos (possivelmente conflitantes). Analisamos sistemas governados por equações de calor lineares e semilineares e também sistemas com controles multiplicativos.

Thesis Defense: Self-Expanders of Mean Curvature Flow and Constant Weighted Mean Curvature Hypersuperfaces

Ph.D. Candidate: Saul Ancari Villca

Thesis Committee: Xu Cheng (Advisor, UFF)
Graham Andrew Smith (UFRJ)
Gregório Manoel da Silva Neto (UFAL)
Matheus Brioschi Herkenhoff Vieira (UFES)
Keti Tenenblat (UnB)
Abigail Silva Duarte Folha (UFF)
Detang Zhou (UFF)

Date: 27 mai 2021, 15h.

Place: Google Meet: meet.google.com/jcm-xpdd-yvs.

Abstract: Nesta tese, estudamos self-expanders do fluxo de curvatura média e hipersuperfícies especiais com curvatura média com peso constante no espaço euclidiano.

Na primeira parte desta tese, estudamos principalmente hipersuperfícies self-expanders imersas no espaço euclidiano cujas curvaturas médias apresentam alguns controles de crescimento linear. Discutimos o crescimento do volume e a finitude dos volumes com peso. Obtemos algumas propriedades que caracterizam os hiperplanos passando pela origem como self-expanders. Fornecemos condições suficientes para que as hipersuperfícies self-expanders sejam produtos de curvas self-expanders e subespaços planos. Também estudamos os espectros do Laplaciano com peso e do operador L-estabilidade. O limite superior do ínfimo do espectro do Laplaciano com peso e os limites superior e inferior do ínfimo do espectro do operador L-estabilidade são fornecidos.

Na segunda parte, estudamos dois tipos de hipersuperfícies com curvatura média com peso constante no espaço euclidiano: λ-hipersuperfícies e λ-self-expanders, que são as hipersuperfícies Σ cuja curvatura média H satisfaz H=λ+<x,n>/2 e H=λ+<x,n>/2, respectivamente, onde λ é constante, x é o vetor posição em Rⁿ⁺¹ e n é o campo normal unitário exterior sobre Σ. Elas são soluções do problema isoperimétrico gaussiano e do problema isoperimétrico com a mesma forma do volume com peso dos self-expanders, respectivamente. Obtivemos vários resultados que caracterizam os hiperplanos, esferas e cilindros como λ-hipersuperfícies e λ-self-expanders, respectivamente. Além disso, no caso de λ-self-expanders propriamente imersos, obtemos que o espectro do Laplaciano com peso é discreto, fornecemos os limites superior e inferior para o ínfimo do espectro do Laplaciano com peso e provamos uma desigualdade entre o ínfimo do espectro do Laplaciano com peso e o ínfimo do espectro do operador L-estabilidade.

Thesis Defense: On moduli spaces in algebraic and tropical geometry

Ph.D. Candidate: Danny Ariel Flores Taboada

Thesis Committee: Marco Pacini (Advisor, UFF)
Alex Abreu (Co-advisor, UFF)
Abramo Hefez (UFF)
Antonio Nigro (UFF)
Ethan Cotterill (UFF)
Filippo Viviani (Università Roma Tre)
Juliana Coelho (UFF)
Renato Vidal Martins (UFMG)
Luciane Quoos Conte (UFRJ)

Date: 22 feb 2021, 11h.

Place: Google Meet: meet.google.com/qtr-xarc-jrt

Abstract: Introduzimos e estudamos divisores polystáveis sobre uma curva tropical, que são os análogos tropicais de feixes livres de torsão de posto 1 polystáveis sobre uma curva nodal. Construímos uma Jacobiana universal tropical sobre o espaço de moduli de curvas tropicais de gênero g. Este espaço parametriza classes de equivalência de curvas tropicais de gênero g junto com um divisor μ-polystável, e pode ser visto como correlativo ao esquema de Picard universal de Caporaso. Descrevemos decomposições poliédricas da Jacobiana de uma curva tropical através de divisores polystáveis, relacionando estas com outras decomposições poliédricas conhecidas.

Estudamos também uma compactificação do espaço de moduli das características teta e fornecemos uma interpretação dos seus pontos geométricos, e descrevemos a fronteira de sua estratificação. Este espaço é diferente do espaço de moduli das curvas spins. A descrição modular e a fronteira de sua estratificação da nova compactificação estão codificados por um espaço de moduli tropical. Mostramos que este espaço de moduli tropical é um refinamento do espaço de moduli das curvas spin tropicais, e descrevemos explicitamente as decomposições induzidas dos seus cones.

Thesis Defense: Continuidade L¹-local de expoentes Liapunov para SL(2,R)-cociclos sobre mapas expansoras

Ph.D. Candidate: Abel Rios Bravo

Thesis Committee: Jiagang Yang (Advisor, UFF)
Jana Rodrigues Hertz (SUSTECH)
Marcelo Miranda Viana da Silva (IMPA)
Maria José Pacifico (UFRJ)
Radu Saghin (Pontificia Universidad Católica de Valparaíso)
Raul Mario Ures de la Madrid (SUSTECH)
Karina Daniela Marin (UFMG)

New Date: 28 dec 2020, 09h30.

Place: Google Meet: http://meet.google.com/ebr-czft-ijo.

Abstract: Seja f um mapa expansora que preserva volume sobre uma variedade compacta e A um SL(2,R)-cocycle de classe C². Nesta tese, consideramos a continuidade dos expoentes de Lyapunov de cociclos sob uma nova topologia: a topologia L¹-local. Mostramos que, se o cociclo A é do tipo hiperbólico e não admite seção invariante, então é um ponto de continuidade dos expoentes de Lyapunov para cociclos contínuos sob a topologia L¹-local.

Como aplicação, mostramos que, para a maioria dos cociclos do tipo hiperbólico, os expoentes de Lyapunov mudam continuamente após perturbação do tipo Dehn-twist.