Dissertation Defense: Formas locais normais através do truque de Moser

M.Sc. Candidate: Lenny Neiza Mamani Cespedes

Thesis Committee: Daniele Sepe (Advisor, UFF)
Alessia Mandini (UFF)
David Francisco Martínez Torres (PUC-Rio)
Gonçalo Marques Fernandes de Oliveira (UFF)

Date: 11 jun 2021, 14h.

Place: Google Meet: meet.google.com/mmz-jugx-fux.

Abstract: Sejam (M,ω) uma variedade simplética de dimensão 2n, f:M→R uma função suave e pϵM um ponto crítico não-degenerado de f tal que f(p)=0. Pelo lema de Morse temos que existe um sistema de coordenadas φ centrado em p tal que φ*Q=f, onde Q(x1,...,xn)=-x12-...-xλ2+xλ+12+...+x2n2 e λ é o índice de f em p. Por outro lado, pelo teorema de Darboux temos que existe um sistema de coordenadas φ centrado em p tal que φ*ω0=ω, onde ω0 é a forma simplética padrão em R2n. Uma questão interessante é saber se existe um sistema de coordenadas centrado em p que relaciona f com Q e ω com ω0 ao mesmo tempo. A resposta é, em geral não. Sem embargo, se M tem dimensão 2, o lema de Morse isochore vai nos fornecer um sistema de coordenadas que relaciona f com  Q e ω com um 'múltiplo' de ω0. Neste trabalho vamos ver que as formas locais normais acima mencionadas podem ser  provadas usando uma técnica muito importante conhecida como o truque de Moser.

 

Dissertation Defense: Classificação Projetiva de Quádricas e Cúbicas

M.Sc. Candidate: Carla Cristina de Lima Pracias

Thesis Committee: Hernan Maycol Falla Luza (Advisor, UFF)
Fernando Cukierman (Universidad de Buenos Aires)
Jorge Vitório Pereira (IMPA)
Paulo Roberto Grossi Sad (IMPA)
Thiago Fassarella do Amaral (UFF)

Date: 14 apr 2021, 14h.

Place: Google Meet: meet.google.com/zrt-gpxx-fwg.

Abstract: Neste trabalho daremos classificações afins de polinômios quadráticos e classificações projetivas de pontos na reta projetiva, quádricas e cúbicas. Estudaremos invariantes que nos permitem determinar estas classificações. Para tal, faremos um estudo de hipersuperfícies afins e projetivas.

Damos destaque ao nosso objetivo final que é a classificação de cúbicas no plano projetivo. As categorizaremos em nove tipos geométricos e introduziremos uma estrutura de grupo no conjunto dos pontos simples de uma cúbica irredutível e, assim, estabeleceremos isomorfismos com os respectivos grupos associados. Para os casos em que a cúbica é irredutível não singular, ou seja, uma curva elíptica, construiremos o isomorfismo com base no estudo das P-funções de Weierstrass.

 

Dissertation Defense: Medidas físicas de Dirac

M.Sc. Candidate: Matheus Manso Del Valle

Thesis Committee: Bruno Rodrigues Santiago (Advisor, UFF)
Pablo Andrés Guarino Quiñones (UFF)
Khadim Mbacke War (IMPA)
Pierre-Antoine Guihéneuf (IMJ-PRG)

Date: 29 mar 2021, 15h.

Place: Google Meet: meet.google.com/tsq-uynz-oni.

Abstract: O presente trabalho tem como objetivo estudar sistemas dinâmicos que são caóticos do ponto de vista da dinâmica topológica, porém munidos de uma medida física de Dirac, isto é, medidas invariantes cuja bacia estatística de atração tem medida de Lebesgue positiva, suportadas em um ponto fixo.

Neste sentido, provamos o teorema de Saghin-Sun-Vargas, que exibe uma deformação do fluxo linear no toro, cuja única medida ergódica é uma delta de Dirac com massa concentrada num ponto fixo; em particular, essa medida é física, e sua bacia estatística de atração coincide com o toro.

Em seguida, estudamos os mapas com pontos fixos neutrais do intervalo e provamos o teorema sobre aplicações Maneville-Pomeau, que afirma o seguinte: existe uma medida infinita que é invariante e absolutamente contínua com respeito à medida de Lebesgue, e sua única medida física é uma delta de Dirac concentrada no ponto fixo com derivada igual a 1. Para finalizar, estudamos o teorema de Lai-Sang e Hu sobre difeomorfismos quase-Anosov; difeomorfismos que podem ser vistos como deformações de um anosov linear no toro no qual a direção instável no ponto fixo na origem fica indiferente.

 

Dissertation Defense: Teorema de Torelli 

M.Sc. Candidate: Manoel da Silva Oliveira

Thesis Committee: Profa. Juliana Coelho Chaves (Supervisor), UFF
Prof. Abramo Hefez, UFF
Prof. Frederico Sercio Feitosa, UFJF
Prof. Luca Scala, UFRJ
Prof. Thiago Fassarella do Amaral, UFF

Date: 09 oct 2020, 15h.

Place: Google Meet: meet.google.com/gsg-crkk-zrx

Abstract: O objetivo desta dissertação é estudar uma prova do clássico Teorema de Torelli, que diz que duas curvas suaves são isomorfas se (e somente se) suas Jacobianas polarizadas o são. A prova estudada é devido a Aldo Andreotti e consiste na recuperação da curva através do lugar de branch do mapa de Gauss do divisor Theta.

 

Dissertation Defense: A Desigualdade de Bourgain-Milman e outras desigualdades clássicas da geometria convexa

M.Sc. Candidate: Erick Cargnel Borges Barreto

Thesis Committee: Prof. Vitor Balestro Dias da Silva (Supervisor, UFF)
Prof. Ralph Costa Teixeira (Co-supervisor, UFF)
Prof. Julián Eduardo Haddad, UFMG
Prof. Marcos da Silva Montenegro, UFMG
Prof. Carlos Hugo Jiménez Gómez, PUC-Rio
Prof. Marcos Craizer, PUC-Rio

Date: 23 sep 2020, 15h.

Place: Google Meet: meet.google.com/amk-foaf-pay

Abstract: A desigualdade de Bourgain-Milman estabelece uma cota inferior (que depende somente da dimensão do Rn) para o produto de Mahler de um corpo convexo, isto é: voln(K) · voln(Ko) ≥ cn.Vol(Bn)2 onde Bn é a bola unitária euclideana em dimensão n e c é uma constante universal. O objetivo desta dissertação é estudar a demonstração de tal desigualdade, através do método da simetrização isomórfica. Para tal, utilizamos diversos resultados importantes, como o Teorema de John, a desigualdade de Sudakov para números de cobertura, e outras desigualdades clássicas da geometria convexa, como as desigualdades de Brunn-Minkowski e Blaschke-Santaló.

 

Dissertation Defense: Expoentes de Lyapunov não removíveis

M.Sc. Candidate: Joel Angel Cisneros Gómez

Thesis Committee: Pablo Gutiérrez Barrientos (supervisor, UFF)
Bruno Santiago (co-supervisor, UFF)
Lorenzo J. Díaz (PUC-Rio)
Artem Raibekas (UFF)

Date: 10 jun 2020, 10h.

Place: Zoom Meeting ID 940 591 9549.

Abstract: O principal resultado desta dissertação é mostrar que a hiperbolicidade não-uniforme (no sentido de expoentes de Lyapunov não nulos) não é densa nos Sistemas Iterados de Funções (ou simplesmente IFS nas siglas em Inglês) de Cr-difeomorfismos do círculo com r ≥ 1. Quer dizer, construiremos conjuntos abertos de IFS tal que qualquer sistema tem uma medida invariante e ergódica para o produto de torto simbólico associado com expoente Lyapunov zero. Além disso, esses conjuntos Cr-abertos podem ser obtidos arbitrariamente C1-pertos de quaisquer IFS que gera alguma composição com número de rotação irracional. Este teorema principal desta dissertação é uma consequência da soma de três teorias que iremos desenvolver:

- Minimalidade e expansividade de IFS de variedades compactas,
- aproximação de medidas ergódicas invariantes por medidas periódicas, e

- aproximação de expoente de Lyaponov zero para o produto torto simbólico associado ao IFS de Cr-difeomorfismos do círculo com r > 1.

 

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