Dissertation Defense: A Teoria de Gauss-Bonnet-Chern e suas aplicações

M.Sc. Candidate: João Rodriguez Marcondes

Thesis Committee: Detang Zhou (Advisor, UFF), Gregorio da Silva Neto (UFAL), Ernani Ribeiro Junior (UFC), Carlos Penafiel (UFRJ).

Date: 26 aug 2022, 14h.

Place: Google Meet: meet.google.com/axj-ebba-uwy.

Abstract: O Teorema de Gauss-Bonnet-Chern em dimensões maiores que 2, de forma intrisica ao ambiente, é conhecida desde sua publicação em 1944 no artigo [Che44]. Essa dissertação de mestrado, sob a orientação do professor Zhou Detang (UFF), contém a demonstração original de S. S. Chern e conclui com a sua demonstração em [Che55] do Teorema de Milnor, que foi provado primeiramente por J. Milnor. Esses resultados são obtidos a partir da elegante maneira de escrever o tensor de curvatura utilizando a matrix de curvatura e as restrições que se pode tirar sobre o tensor de curvatura como feito por R. L. Bishop e S. I. Goldberg em [IG64].

Dissertation Defense: Unique ergodicity of the horocycle flow via hyperbolic dynamics

M.Sc. Candidate: Odylo Abdalla Costa

Thesis Committee: Bruno Rodrigues Santiago (Advisor, UFF); Sebastién Alvarez (Coadvisor, Universidad de la Républica de Uruguay); Alejandro Kocsard (UFF); Katrin Gelfert (UFRJ); Rafael Potrie (Universidad de la Républica de Uruguay).

Date: 17 mar 2022, 14h.

Place: Google Meet: meet.google.com/sgn-csgt-jmn

Abstract: A unicidade ergódica do fluxo horocíclico no fibrado tangente unitário de uma superfície compacta com curvatura negativa é conhecida desde Furstenberg [Fur73]. Esta dissertação de mestrado, sob a orientação dos professores Bruno Santiago (UFF) e Sébastien Alvarez (Udelar), apresenta uma prova alternativa desse resultado, que combina um teorema devido a Coudène [Cou09] sobre teoria ergódica em espaços métricos, e um resultado em dinâmica hiperbólica, devido a Plante [Pla72], que caracteriza quando a folheação instável forte de um fluxo Anosov transitivo é minimal.

Dissertation Defense: Conflict-Free coloring game

M.Sc. Candidate: Paola Tatiana Pantoja Huaynoca

Thesis Committee: Simone Dantas de Souza (Advisor, UFF)
Miguel Alfredo del Rio Palma (UFR)
Telma Silveira Pará (FAETEC-RJ)

Date: 31 aug 2021, 16h.

Place: Google Meet: meet.google.com/qyv-aujk-brj

Abstract: Dado um grafo G com n vértices e k>1 cores diferentes, o jogo Conflict Free k-coloring é um jogo maker-breaker no qual dois jogadores, Alice e Bob, alternadamente se revezam atribuindo uma das k cores a cada vértice de um grafo G de modo que para cada v∈V, se a vizinhança N[v] (resp. N(V)) estiver totalmente colorida, então existe w∈N[v] (resp. w∈N(v)) tal que c(w)≠c(w') para todo w'∈N[v] (resp. w∈N(v)). Uma coloração de um vértice v é dita legal se, depois dela, em cada vizinhança totalmente colorida à qual v pertence, existe uma cor que aparece exatamente uma vez. Ambos os jogadores podem iniciar o jogo, jogam de forma otimizada e são obrigados a usar apenas colorações legais. Alice ganha se terminar com uma CF k-coloring de G, caso contrário, Bob ganha se

impedir que isso aconteça.
No presente trabalho, estudamos o Conflict Free k-coloring game em classes clássicas de grafos como grafos completos, caminhos, ciclos, grafos bipartidos completos e estrelas, fornecendo estratégias para
Bob e Alice ganharem o jogo.

Dissertation Defense: Suavização de Sinais com Laplacianos Fracionários

M.Sc. Candidate: Alfredo Soliz Gamboa

Thesis Committee: Ralph Costa Teixeira (Advisor, UFF)
Francisco Duarte Moura Neto (UERJ)
Max Oliveira de Souza (UFF)
Juan Bautista Limaco Ferrel (UFF)

Date: 27 jul 2021, 13h.

Place: Google Meet: meet.google.com/yzt-pynx-vij

Abstract: Este trabalho tem por objetivo estudar o uso de potências fracionárias do Laplaciano para regularização de sinais, como se pode observar no trabalho de Stephan Didas, Bernhard Burgeth, Atsushi Imiya e Joachim Weickert. Para tanto, partimos da regularização de Tikhonov, que consiste em minimizar o seguinte funcional

ε(g) = ½ ∫_ℝ (f-g)² + ∑^N_i=1 λ_i (Dⁱg)² dx.

Em seguida, fazemos uma generalização usando derivadas de ordem fracionária:

ε(u) = ½ ∫_ℝ (f-u)² + ∑^m_k=1 β_k (D^α_ku)² dx

onde teremos que definir a derivada de ordem fracionária para que faça sentido e com a qual chegaremos ao problema principal do trabalho

onde se definirá (-Δ)^su como o operador Laplaciano Fracionário, com β_i >0 e 0<s_i<1.