Sobre Biholomorfismos com órbitas finitas

Speaker: Lucivanio Lisboa, UFF. 

Date: 04 oct 2019, 14h15

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: Seja F ∈ Diff (C^n,0) um germe de biholomorfismo fixando a origem de C^n. Dizemos que F tem a propriedade de órbitas finitas se existe uma vizinhança U de 0 na qual F e F^{−1} estão definidos e, para cada p ∈ U, o conjunto dos iterados de p por F em U é finito. Em 1980, J.-F. Mattei e R. Moussu mostraram que em dimensão n = 1 um elemento F tem a propriedade de órbitas finitas se, e somente se, F é periódico como elemento do grupo Diff (C^1, 0). Eles usaram esse fato para estabelecer um critério topológico para existência de integrais primeiras para germes de folheações em (C^2, 0). Em dimensão n ≥ 2, não é verdade que a propriedade de órbitas finitas seja equivalente à periodicidade. Por exemplo, o biholomorfismo local F(x, y) = (x, y+x^2) tem a propriedade de órbitas finitas, mas não é periódico. Neste seminário, apresentarei alguns resultados recentes sobre biholomorfismos com órbitas finitas em dimensão n ≥ 2. Este ́e um trabalho de Tese em desenvolvimento, sob a orientação de Javier Ribón e coorientação de Fernando Sanz.

Ferraduras com tangências internas

Speaker: Isabel Lugão Rios, UFF.

Date: 13 sep 2019, 14h15

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: Nesse seminário vou falar sobre um exemplo de ferradura com tangência homoclínica interna, ou seja, acumulada por órbitas periódicas da ferradura. Esse exemplo foi introduzido em minha tese de doutorado, onde era mergulhado em uma família a um parâmetro, com o objetivo de estudar a bifurcação resultante. Posteriormente, em colaboração com outros colegas, provamos várias propriedades interessantes dessa ferradura bifurcante. Vou abordar mais especificamente um trabalho em conjunto com Yongluo Cao e Stefano Luzzatto, onde provamos que todas as medidas invariantes suportadas na ferradura têm expoentes de Lyapunov uniformemente afastados de zero. Vou concluir falando de um trabalho recente em colaboração com André de Carvalho, Karla Díaz-Ordas, e Lorenzo Díaz, sobre a variação da entropia topológica após a bifurcação.

Statistical stability for singular hyperbolic attractors

Speaker: Mohammad Soufi, UERJ.

Date: 23 aug 2019, 14h15.

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: A common agreement on the definition of chaos is the sensitive dependence on initial conditions. That means independent of how close two initial conditions are, by letting the system to proceed for a while, the new resulting states of the system are significantly different. In other words, a small error at a starting point will cause a huge difference in the outcome of the system. Since measuring a starting point can not be done accurately, the orbit of states is quite unpredictable. But statistically there is a hope to make a prediction by measuring an observable along orbits of the system. Despite of the alteration of the observable along an orbit, its time average for typical points converges to a constant which is the space average. This is due to the existence of an SRB (Physical) measure. Now, an interesting question is if the space average depends sensitively on system, i.e., if the statistical behaviour is stable under the small perturbation of a system? In this talk, we start with some basic definitions and provide some examples of statistical stable chaotic systems: Lorenz-like map and Lorenz attractor. The Lorenz attractor is the first example of robust attractor containing a hyperbolic singularity in dimension three which is called singular hyperbolic attractor. Then we define precisely the singular hyperbolic attractors and discuss their statistical stability.

This a joint work with Mohammad Fanaee.

Open sets of partially hyperbolic skew products having an unique SRB measure

Speaker: Davi Obata, Université Paris-Sud (Orsay).

Date: 12 jul 2019, 15h30.

Place: Room 407, Bloco H, Campus Gragoatá, UFF.

Abstract: In this seminar we will study the existence (and uniqueness) of SRB measures for certain partially hyperbolic systems. In particular, we obtain $C^2$-open sets of dissipative, partially hyperbolic skew products having an unique hyperbolic SRB measure. These partially hyperbolic systems have a two dimensional center which presents both expansion and contraction, and no domination between expanding/contracting directions. These systems are dissipative perturbations of an example introduced by Berger-Carrasco. The proof uses a combination of recent results: a measure rigidity result by Brown-Rodriguez Hertz, the invariance principle by Tahzibi-Yang, and some techniques developed by the author to prove the stable ergodicity of the same example in the conservative setting. In particular, in a neighborhood of the example we obtain a rigidity result for $u$-Gibbs measures, that is, we can classify all the possible $u$-Gibbs measures that may appear.