Dissertation Defense: Suavização de Sinais com Laplacianos Fracionários
M.Sc. Candidate: Alfredo Soliz Gamboa
Thesis Committee: Ralph Costa Teixeira (Advisor, UFF)
Francisco Duarte Moura Neto (UERJ)
Max Oliveira de Souza (UFF)
Juan Bautista Limaco Ferrel (UFF)
Date: 27 jul 2021, 13h.
Place: Google Meet: meet.google.com/yzt-pynx-vij
Abstract: Este trabalho tem por objetivo estudar o uso de potências fracionárias do Laplaciano para regularização de sinais, como se pode observar no trabalho de Stephan Didas, Bernhard Burgeth, Atsushi Imiya e Joachim Weickert. Para tanto, partimos da regularização de Tikhonov, que consiste em minimizar o seguinte funcional
ε(g) = ½ ∫ℝ (f-g)2 + ∑Ni=1 λi (Dig)2 dx.
Em seguida, fazemos uma generalização usando derivadas de ordem fracionária:
ε(u) = ½ ∫ℝ (f-u)2 + ∑mk=1 βk (Dαku)2 dx
onde teremos que definir a derivada de ordem fracionária para que faça sentido e com a qual chegaremos ao problema principal do trabalho
ut + ∑mi=1 βi(-Δ)siu=0, x∈ (-L,L)u=0, x∈ ℝ-(-L,L)u(0,x)=f(x), x∈ (-L,L)onde se definirá (-Δ)su como o operador Laplaciano Fracionário, com βi >0 e 0<si<1.
Concentramo-nos tanto em suas técnicas variacionais correspondentes quanto em equações pseudo-diferenciais parabólicas e também estudaremos as novas definições que podem ser obtidas usando essas equações. Realizamos um estudo detalhado das propriedades de regularização de funcionais de energia, onde o termo suavizante consiste em várias combinações lineares de derivadas fracionárias. As equações pseudo-diferenciais parabólicas associadas com coeficientes constantes estão fornecendo o vínculo com a teoria do espaço-escala linear. Estes englobam os bem conhecidos espaços de escala, mesmo aqueles com valores de parâmetro conhecidos por violarem o princípio do máximo. No entanto, mostramos que é possível construir combinações de filtros de alta e baixa ordem que preservam a positividade.
O trabalho revela a estreita relação entre filtros contínuos e semidiscretos, com isso, ajuda a facilitar implementações computacionais. Finalmente, mostraremos que os operadores de difusão e regularização fracionária discreta podem ser implementados computacionalmente, além de estudarmos a solução de difusão e regularização fracionária por meio do método de Galerkin (elementos finitos) que é um método relativamente novo para este tipo de operadores, onde primeiro Acosta, G., Bersetche F. M. e Borthagaray J. estudaram. Usaremos os resultados de Biccari e Zuazua para analisar o problema de regularização. Este método foi implementado computacionalmente para obter os exemplos numéricos no final do trabalho.